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기하학과 상상력 (양장본)
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기하학과 상상력 (양장본) 살림 Math 클래식 2

  • 다비드 힐베르트 , 슈테판 콘 포센
  • |
  • 살림MATH
  • |
  • 2012-04-27 출간
  • |
  • 472페이지
  • |
  • 152 X 225 mm
  • |
  • ISBN 9788952218384
★★★★★ 평점(10/10) | 리뷰(1)
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북스크린영상으로 만나보는 한 권의 책 이야기

출판사서평

이 책의 목적은 기하학을 시각적이고 직관적으로 표현하는 것이다. 시각적 상상의 도움을 받아 다양체에 기하학적 사실 및 문제를 설명할 수 있는데, 많은 경우 개념을 엄밀하게 정의하거나 실제 계산에 자세히 들어가지 않고도 연구 및 증명 방법의 기하학적 윤곽을 집어낼 수 있다. 예를 들어, 구멍이 난 공은 ─ 아무리 구멍이 작다고 하더라도 ─ 구부릴 수 있다는 사실이나, 서로 다른 토러스 모양의 곡면을 서로의 위로 각을 보존하며 감쌀 수 없다는 사실을 해석학적 논증을 세세히 따르고 싶지 않은 사람에게도 왜 그리고 어떻게 증명하는지 감을 얻을 수는 있도록 다룰 수 있다.
-p.5

지금까지는 초곡선을 논의했는데, 이제 동일초곡선 가족 내에서 종류가 다른 두 곡면의 쌍이 만나 이루는 다른 곡선들을 생각할 때가 됐다. 나중에 논의하겠지만 이 곡선들은 미분기하학적으로 간단한 성질을 갖는다(258쪽을 참고). 이들은 처음으로 평면에 들어 있지 않은 곡선의 예를 제공한다. 일반 위치에 있는 임의의 두 이차곡면이 만나 생긴 곡선은 통째로 한 평면 속에 들어 있지 않는 한 임의의 평면과 다섯 점 이상에서 만날 수는 없다. 평면이 각 곡면과 만나면 두 개의 원뿔곡선을 이루는데 일치하지도 않고 직선 전체를 공유하지도 않는 두 원뿔곡선은 다섯 점 이상에서 만날 수 없다는 것을 ─ 이 정리는 직관적으로도 당연하다 ─ 해석학적으로 쉽게 증명할 수 있기 때문이다(221쪽을 참고).
-p.42

민코프스키(Minkowski)가 격자에 대해 성공적으로 증명한 정리는 단순함에도 불구하고, 다른 방법으로는 취급하지 못한 수론의 많은 문제를 해결했다. 명쾌하게 하기 위해 여기에서는 가장 일반적인 형태로는 이 정리를 기술하지 않고, 공식화하기 쉬우면서도 정리의 정수는 모두 담아 내는 특별한 경우로 한정하려고 한다. 정리는 다음과 같다.
한 변의 길이가 2인 정사각형을 그 중심이 격자점에 놓이도록 아무 평면 단위격자에 겹쳐 놓으면 정사각형의 내부나 경계에는 반드시 다른 격자점이 존재한다.
-p.69

진성운동에 반사변환을 더하기만 해도 자연계에서 발견되는 다양한 결정구조를 모두 얻는다. …… 기하학적 방법 대신 대수적 방법을 이용하여 대칭변환의 불연속군을 찾을 수도 있다. 평면에서 이 방법을 쓰면 복소수 사이에 놀라운 관계가 드러나며 공간에서는 초-복소수 체계에 기초한 방법이 된다.
현재의 논의를 고차원 공간으로 일반화하는 건 흥미로운 문제다. 고차원 공에서 대칭변환의 불연속군과 관련한 몇 가지 결과를 발견했고 임의의 차원의 공간에서 정다면체에 해당하는 도형들도 알고 있다. 고차원 도형은 다음 장에서 더 얘기한다. 더욱이 비버바흐(Bieberbach)는 모든 n에 대해 n차원 결정학적군은 유한개이며 이러한 군들은 각각 n개의 일차독립인 평행이동을 포함함을 증명했다.
-p.133

목차

서문
4
1장 가장 간단한 곡선과 곡면 11
1.1 평면곡선 13
1.2 원기둥, 원뿔, 원뿔곡선, 회전곡면 21
1.3 이차곡면 27
1.4 실을 이용한 타원면의 작도법과 동일초곡선 이차곡면들 36
1장 부록
1. 원뿔곡선의 발판점 작도 43
2. 원뿔곡선의 준선 46
3. 쌍곡면의 움직일 수 있는 막대 모형 49

2장 정칙 점체계 53
2.1 평면격자 55
2.2 수론에서의 평면격자 63
2.3 삼차원 이상에서의 격자 74
2.4 정칙 점체계로서의 결정 83
2.5 정칙 점체계와 불연속운동군 89
2.6 평면운동과 합성. 평면운동의 불연속군의 분류 93
2.7 무한 기본영역을 갖는 평면운동의 불연속군 100
2.8 평면운동의 결정학적군. 정칙 점체계 및 정칙 유향점체계.
평면을 합동인 영역으로 분할하기 108
2.9 결정 클래스, 공간의 운동군, 좌우 대칭을 갖는 군과 점체계 124
2.10 정다면체 134

3장 사영배치 139
3.1 평면배치에 관한 사전 관찰 143
3.2 (7￡)과 (8￡) 배치 146
3.3 (9￡) 배치 153
3.4 원근법, 가상의 원소, 평면에서의 쌍대성 165
3.5 공간에서의 가상의 원소와 쌍대성의 원리. 데자르그의 정리와 데자르그 배치 공백(10￡) 174
3.6 파스칼의 정리와 데자르그의 정리 비교 185
3.7 공간의 배치에 대한 예비 관찰 191
3.8 레예 배치 193
3.9 삼차원과 사차원의 정칙 초다면체와 사영 204
3.10 기하학에서의 계수적 방법 218
3.11 슐래플리의 쌍육 226

4장 미분기하 235
4.1 평면곡선 238
4.2 공간곡선 247
4.3 곡면의 곡률. 타원점, 쌍곡점, 포물점. 곡률선과 점근곡선.
배꼽점, 극소곡면, 원숭이 안장 252
4.4 구면상과 가우스곡률 264
4.5 전개곡면, 모선곡면 278
4.6 공간곡선 비틀기 286
4.7 공의 열한 가지 성질 291
4.8 곡면을 보존하며 구부리기 312
4.9 타원기하 315
4.10 쌍곡기하, 유클리드 기하 및 타원기하의 관계 325
4.11 극사영과 원을 보존하는 변환. 쌍곡평면의 푸앵카레 모형 332
4.12 등장사상, 넓이 보존 사상, 측지사상, 연속사상, 등각사상 345
4.13 기하학적 함수론. 리만 사상 정리. 공간에서의 등각사상 349
4.14 곡면의 등각사상. 극소곡면. 플라토의 문제 356

5장 운동학 361
5.1 연동장치 364
5.2 평면도형의 연속 강체운동 368
5.3 타원 및 윤전선을 작도하는 장치 378
5.4 공간에서의 연속운동 381

6장 위상학 385
6.1 다면체 388
6.2 곡면 396
6.3 단면곡면 404
6.4 폐곡면으로 본 사영평면 419
6.5 연결도가 유한인 곡면의 표준형 430
6.6 곡면에서 자신 위로의 위상학적 사상.
부동점. 사상의 클래스. 토러스의 보편 덮개곡면 434
6.7 토러스의 등각사상 440
6.8 인접영역의 문제, 실 문제와 채색 문제 445
6장 부록
1. 사차원 공간에서의 사영평면 454
2. 사차원 공간에서의 유클리드 평면 456

참고문헌 457
옮긴이 후기 458
찾아보기 463

저자소개

저자 다비드 힐베르트(David Hilbert, 1862-1943)는 1862년 쾨니히스베르크(K?nigsberg)에서 태어났다. 그의 할아버지와 아버지는 모두 판사였다. 김나지움까지는 수학 이외의 과목에 흥미가 없어 그리 좋은 성적을 내지 못하다가 좀 더 개방적인 학교로 옮긴 후 공부에 흥미를 갖기 시작하여 수학에서 최우수 성적을 획득한다. 최초로 수학계에 이름을 알린 것은 26세 때인 1888년에 ‘고르단(Paul Gordan)의 문제’를 해결하면서부터다. 1895년부터 괴팅겐에 자리를 잡은 힐베르트는 대수적 정수론의 순수 수학에서 업적을 내기 시작하였다. 또한 그는 1900년 8월 8일 국제수학자대회에서 다가올 20세기에 수학계에서 해결해야 할 23개의 수학 문제들을 제시했는데, 힐베르트가 낸 이 문제들은 20세기 수학의 진행 방향에도 커다란 영향을 미쳤다. 1902년에는 『기하학의 기초Die Grundlagen der Geometrie』를 출판해 기하학의 공리적 기초를 마련했다. 혹자는 이런 의미에서 힐베르트를 ‘제2의 유클리드’라 부르기도 했다. 출간 이후 힐베르트에게는 곧 베를린 대학에서 임용 제안이 들어왔는데, 힐베르트는 폰 노이만(John von Neumann), 노르트하임(Lothar Nordheim) 등과 함께 양자역학의 수학적 공리화를 시도했으며, 1924년에는 그의 수제자인 쿠랑과 함께 『수리물리학의 방법Die Methoden der mathematischen Physik』이라는 20세기 수리물리학 분야의 고전을 출판하기도 했다. 이 책은 슈뢰딩거의 파동역학이 나오기 직전에 출판되어 과학자들이 파동역학에 나오는 난해한 수학적 방법을 쉽게 이해하게 해주어 현대물리학의 보급에도 결정적인 역할을 했다. 1912년 적분 방정식에 관한 연구를 종합한 책을 발간하였고 이후 물리학을 수학과 같이 공리적 체계 위에 세우려는 노력을 시작한다. 1915년 11월 아인슈타인의 일반상대성이론과 거의 같은 시기에 ‘물리학의 기초’라는 논문으로 같은 결론을 얻어냈다. 제1차 세계대전 후에는 브로베르(Brouwer)등이 주창한 직관주의에 대항하여 형식주의를 주장했다. 1930년 봄 교수직에서 정년퇴임하고 이 해 가을 쾨니히스베르크로부터 명예시민증을 수여받는다. 80세에 길에서 넘어져 다친 후 쇠약해져 제2차 세계 대전이 한창이던 1943년 2월 14일 81세를 일기로 사망하였다.

도서소개

수학사에 기념비적인 저서들의 원저에 담긴 풍부한 영감을 그대로 담아낸「살림 Math 클래식」제2권『기하학과 상상력』. 다비드 힐베르트가 은퇴하기 전 1920년부터 1921년까지 매주 4회씩 강의한 내용을 노트로 작성한 것에 제자 슈테판 콘-포센이 많은 부분을 세세하게 다시 작업하고 보충하여 엮어낸 것으로, 현대 기하 교수법의 기초를 닦은 책이다. 평면곡선, 이차곡선 등 간단한 곡선과 곡면, 미분기하, 운동학 등 모두 6장으로 나누어 기하학을 시각적이고 직관적으로 표현하고 있다. 식 대신 눈으로 볼 수 있는 도형이나 독자가 쉽게 만들어 보충할 수 있는 모형을 제공하며, 수학 초보자와 전공자 모두가 수학에 대해 공부하며 흥미를 느낄 수 있도록 도와준다. 당대의 수학자들이 해답을 얻지 못한 중요한 문제가 곳곳에 숨어 있는데, 70년이 넘는 동안 수학자들의 노력으로 해결한 문제와 아직까지 해결하지 못한 문제들까지 수록하여 직접 해결해나가는 즐거움을 전해준다.
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